第四章随机变量的数字特征

第五章大数定律和中心极限定理

第六章数理统计的基本概念

第七章参数估计

第八章假设检验[1]

第三篇概率论与数理统计(数二不要求)

第一章 随机事件和概率

1.1 随机试验与样本空间

随机试验E
定义具有以下特点的试验称为随机试验
（1）可以在相同的条件下重复地进行
（2）每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；
（3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。

样本空间
样本空间 随机试验的所有可能结果组成的集合称为样本空间。
样本点 样本空间的元素，即随机试验的每一可能结果称为样本点
样本空间的分类
① 有限集；② 无限可列集；③ 无限不可列集

1.2 随机事件

定义样本空间的子集，通常用，，表示

分类
① 基本事件 由一个样本点组成的单点集
② 复合事件 由至少两个基本事件组成
③ 必然事件 样本空间包含所有样本点，它是自身的子集，在每次试验中它总是发生的，称为必然事件。记为。
④ 不可能事件 空集不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集，在每次试验中都不发生，称为不可能事件。记为。

事件发生 在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件出现（发生）。

事件间的关系与运算

事件间的关系
(1)包含关系 事件发生一定导致发生
(2)事件相等 且，则事件
(3) 和的和事件 记为，至少有一个

发生时事件发生。类似地，称为个事件的和事件。
(4) 和的积事件 记为，同时发生时事件发生,类似地，称为个事件的积事件。
(5)和的差事件 事件发生、不发生时事件发生。也记为。
(6)互斥（互不相容）事件 ，不能同时发生。
(7)对立（互逆）事件 且，在一次试验中必然发生且只能发生一个。的对立事件记为。
(8)完备事件组
若事件，则称事件是一个完备事件组。

事件的运算律
(1)交换律

(2)结合律 ；
(3)分配律
(4)德摩根律（对偶律）

随机事件的概率

古典概型及其概率计算
(1) 定义具有以下两特点的试验称为古典概型
① 样本空间有限
② 等可能性
（2）计算方法
（3）古典概率的性质
1）非负性，
2）规范性
3）有限可加性设是两两互不相容的事件，即对于

则有

几何概型的定义与计算
设随机试验的可能结果可以等可能地几何表示为某区域中的一点，且点落在区域的概率与的测度（长度，面积，体积）成正比，而与的位置与形状无关，则该试验为几何概型。且

几何概率的性质
1）非负性，
2）规范性
3）可列可加性设是两两互不相容的事件，即对于则有

概率的公理化定义
定义设是随机试验，是它的样本空间，对于的每一个

事件赋予一个实数，记为，称为事件的概率，如果集合函数满足下列条件
1）非负性对于每一个事件，有；
2）规范性对于必然事件，有
3）可列可加性设是两两互不相容的事件，即对于则有

概率的性质
1）非负性，
2）规范性
3）有限可加性设是两两互不相容的事件，即对于则有

4）逆事件的概率对于任一事件，有
5）可比性设是两个事件，若，则有

6）加法公式对于任意两随机事件有

定义设是两个事件，且，称为在事件发生的条件下事件发生的条件概率。

条件概率的性质（与概率的性质相同）
1）；
2）；
3）
4）
5）乘法公式
推广设为事件，且，则有

事件的独立性

定义设是两个事件，如果满足等式，则称事件相互独立，简称事件独立。

独立的等价说法
若，则事件独立

独立的性质
若事件相互独立，则，，也相互独立。

三个事件的独立性 设是三个事件，如果满足等式
相互独立。

全概率公式

是完备事件组，且则

贝叶斯公式（逆概公式）
是完备事件组，

重伯努利概型及其概率计算
定义只有两个结果的试验称为伯努利试验，若将伯努利试验独立重复地进行次，则称为重伯努利概型。
计算公式
设在每次实验中，事件发生的概率，事件不发生的概率为（），则在重伯努利实验中，事件发生次的概率记为。

1.3 重要公式与结论

(5)条件概率满足概率的所有性质，
例如

(6)若相互独立，则
(7)互斥、互逆与独立性之间的关系 A与B互逆A与B互斥，但反之不成立，A与B互斥（或互逆）且均非零概率事件A

与B不独立。
(8)若相互独立，则与也相互独立，其中分别表示对相应事件做任意事件运算后所得的事件，另外，概率为1（或0）的事件与任何事件相互独立。

第二章随机变量及其概率分布

2.1 随机变量

随机变量的定义 在样本空间上的实值函数，则该变量称为随机变量. 随机变量常用大写字母等表示，即，其取值用小写字母等表示。

随机变量的分类
（1）离散型随机变量的取值为有限个或无限可列个
（2）连续型随机变量的取值为某区间上的所有值
（3）非离散型也非连续型

2.2 离散型随机变量
定义设为离散型随机变量，其可能取值为，取各个值的概率为，其中
1)
2)

则称为随机变量的概率分布或分布律，也可记为

常用离散型随机变量
（1）二项分布
设事件在任意一次实验中出现的概率都是（）表示重贝努利试验中事件A发生的次数，则所有可能的取值为，且相应的概率为，

（2）分布（二项分布的特例）
若随机变量只有两个可能的取值0和1，其概率分布为

或则称服从分布。

（3）泊松分布（二项分布的极限分布）
设随机变量的概率分布为则称服从参数为的泊松分布，记为
注其中

随机变量的分布函数
定义设是一个随机变量，对于任意实数，令称为随机变量X的概率分布函数，简称分布函数

.

分布函数的性质
（1）非负性
（2）规范性
（3）单调不减性对于任意，有；
（4）右连续性

利用分布函数求各种随机事件的概率
已知则有
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）

（8）

离散型随机变量的分布函数
定义

2.3 连续型随机变量的概率分布

概率密度函数
如果对于随机变量的分布函数，存在非负可积函数，使得对于任意实数，有则称为连续型随机变量，函数称为的概率密度函数（简称密度函数）。

性质
（1）非负性（）；

（2）规范性 =1；
（3）对于任意实数和，有；
（4）在的连续点处，有
（5）连续型随机变量的分布函数是连续函数。
（6）对于连续型随机变量，，对成立。

常用连续型随机变量

1）均匀分布（几何概型）
如果随机变量，其密度函数为则称服从上的均匀分布，记作.其中是

分布的参数。
的分布函数为

(2)指数分布 （寿命问题）
如果随机变量，其密度函数为
其中为参数，则称服从参数为的指数分布，记作。
指数分布的分布函数

(3)正态分布
1)一般正态分布
一个连续型随机变量，如果其密度函数为

其中为常数，，，则称服从参数为和的正态分布，记作.
2)标准正态分布
定义当，的正态分布称为标准正态分布，记作，其密度函数用表示，分布函数用表示。其中
性质
① 关于轴对称；
②
③ ；
④
查标准正态分布表
设，对于给定的，如果满足条件

，则称为标准正态分布的分位点。由于，因此可以利用标准正态分布表查出的值。
3）标准正态分布与一般正态分布的关系（标准化）
一般正态分布，可以通过线性变换转化为标准正态分布。

随机变量函数的分布

1、离散型随机变量的函数分布
设是离散型随机变量，概率分布为则随机变量的函数取值的概率为如果中出现相同的函数值，则将它们相应的概率之和作为随机变量取该值的概率，就可以得到的概率分布。

2、连续型随机变量函数的概率密度
已知，求

方法 分布函数法
先求再求
两种情形
（1）为单调函数；
（2）为非单调函数

2.4 重要公式与结论

(5)离散型随机变量的分布函数为阶梯间断函数；连续型随机变量的分布函数为连续函数，但不一定为处处可导函数。
(6)存在既非离散也非连续型随机变量。

第三章多维随机变量及其分布

3.1 二维随机变量及其分布函数

二维随机变量 设是定义在样本空间上的两个随机变量，则称向量为二维随机变量（或随机向量）

二维随机变量分布函数的定义 设是二维随机变量，对于任意实数，称二元函数为二维随机变量的分布函数或随机变量与的联合分布函数，它表示随机事件与同时发生的概率.

二维随机变量分布函数的性质
（1）非负性对于任意实数，；
（2）规范性；

（3）不减性分别关于和单调不减；
（4）右连续性分别关于和右连续，即

二维随机变量的边缘分布函数
设二维随机变量的分布函数为，分别称

同理为关于和关于的边缘分布函数。

二维随机变量的独立性
设二维随机变量的分布函数为，关于和关于的分布函数分别为和，如果对于任意实数和有：，则称随机变量和相互独立。

3.2 二维离散型随机变量

二维离散型随机变量定义 如果二维随机变量可能取的值为有限对或无限可列多对实数，则称为二维离散型随机变量.

联合分布律 设二维离散型随机变量所有可能的取值为，且对应的概率为其中：，且，则称为二维离散型随机变量的概率分布或随机变量和的联合概率分布。

边缘分布律 对于二维离散型随机变量，设其概率分布为

则的边缘分布为：

的边缘分布为：

边缘分布函数：

条件分布律
设二维离散型随机变量的概率分布为

（1）对于给定的，如果，则称

为在条件下随机变量的条件概率分布。
（2）对于给定的，如果，则称
为在条件下随机变量的条件概率分布。

离散型随机变量与的独立性
如果是二维离散型随机变量，则随机变量和相互独立的充分必要条件是即，

3.3 二维连续型随机变量

定义设二维随机变量的分布函数为，如果存在非

负可积的二元函数，使得对任意实数，有，则称为二维连续型随机变量，称函数为二维随机变量的概率密度函数或随机变量和的联合密度函数.

性质
（1）；
（2）；
（3）若在点处连续，则有；
（4）设是平面上任一区域，则点落在内的概率为：

边缘概率密度 设为连续型随机变量，它的概率密度函数

为，则
的缘密度函数为：
的边缘密度函数为：

二维连续型随机变量的条件概率密度
设二维随机变量的概率密度为
（１）对于给定的实数，边缘概率密度，则称为在条件下的条件概率密度函数
（２）对于给定的实数，边缘概率密度，则称为在条件下的条件概率密度函数

二维连续型随机变量的独立性 如果二维随机变量的联合密度为，边缘概率密度分别为和，则随机变量和相互独立的充要条件是，对一切均有

两个常见的二维连续型随机变量的分布
（1）二维均匀分布设是平面上有界可求面积的区域，其面积为，若二维随机变量具有密度函数则称服从区域上的二维均匀分布.
性质若在各边平行于坐标轴的矩形区域上服从均匀分布的随机变量，则它的两个分量和是独立的，并且分别服从区间上的一维均匀分布。

（2）二维正态分布如果二维连续型随机变量的概率密度为：

，其中均为常数，则称服从参数为和的二维正态分布，记作，也称为二维正态随机变量。

3.4 二维随机变量函数的分布

离散情形 已知的联合分布律为

注意：的分布律中，如果表中函数值有重复的只取一次，对应概率相加即可。

连续情形

分布函数法
设二维连续型随机变量的概率密度为，则随机变量的函数的分布函数为：

（1），则的分布函数为：
，
由此可得的概率密度为：或如果随机变量独立，关于的边缘概率密度分别为，则上式可化为：或这个公式称为独立和卷积公式。

记为。

（２）最大最小分布

相互独立，其分布函数分别为，，则

特别地，当独立同分布，即（）时

3.5 重要公式与结论

(1)边缘密度公式：

(2)
(3)若（，）服从二维正态分布则有
①
②与相互独立，即与不相关
③
④关于的条件分布为：
⑤关于的条件分布为：
(4)若与独立，且分别服从则

(5)若与相互独立，为连续函数，则也相互独立。

第四章随机变量的数字特征

4.1 随机变量的数字特征

数学期望
离散型 ；
连续型

性质
(1)
(2)
(3)若和独立，则
(4) 若和独立
方差

标准差 ，

离散型

连续型

性质
(1)
(2)与相互独立，则
(3)
(4)一般有
(5)
(6)

4.2 随机变量函数的数字特征

随机变量函数的数学期望
(1)对于函数
为离散型：；
为连续型：
(2) ;;

;

协方差

相关系数

,
阶原点矩 ;
阶中心矩

性质
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)

4.3 常见随机变量的数字特征

4.4 重要公式与结论

（1）
（2）
（3）且

（4）下面5个条件互为充要条件：

注:与独立为上述5个条件中任何一个成立的充分条件，但非必要条件。

第五章大数定律和中心极限定理

切比雪夫不等式 或

切比雪夫大数定律 设相互独立，且
则对于任意正数，有

依概率收敛 设是一个随机变量序列，是一个常数，如果对于任意给定的正数，有则称随机变量序列依概率收敛于，记作

伯努利大数定律 设相互独立，同分布，则对任意正数，有

辛钦大数定律 设相互独立同分布，则对于任意正数，有

棣莫弗---拉普斯定理 设（即相互独立且同服从分布）则有

列维---林德伯格定理 设相互独立分布，则

第六章数理统计的基本概念

6.1 总体和样本

总体研究对象的某项数量指标的全体，它是一个随机变量，用表示

个体组成总体的每个基本元素

简单随机样本 来自总体的n个相互独立且与总体同分布的随机变量称为容量为n的简单随机样本，简称样本

统计量 设是来自总体的一个样本，）是样本的连续函数，且中不含任何未知参数，则称为统计量

样本均值

样本方差

样本矩 样本k阶原点矩
样本k阶中心矩

顺序统计量 和的分布
设总体分布函数为，是来自总体的样本，则统计量和的分布函数分别为

6.2 常用统计量的抽样分布

分布
（1）典型模式
设随机变量相互独立，都服从标准正态分布

，则随机变量的概率密度为

则称随机变量服从自由度为的分布，记作。

（2）分布的性质
设，并且和相互独立，则

（3）上分位点
设，对于任给定的，称满足条件的点为的上分位点。

分布
（1）典型模式

设随机变量，且相互独立，则随机变量服从自由度为的分布（学生氏t分布），记作.其分布密度函数为
（2）分布的性质
分布的概率密度是偶函数且有即当充分大时，分布近似分布。
（3）上分位点
设，对于任给定的，称满足条件的点为的上分位点。由于分布的概率密度是偶函数，因此

分布

（1）典型模式
设随机变量相互独立，且，则随机变量服从自由度为的分布，记作，其分布密度函数为

（2）分布的性质 设，则；
（3）上分位点
设，对于任给定的，称满足条件的点为的上分位点，且有

6.3 正态总体的抽样分布

一个正态总体 设是来自正态总体的样本，样本均值为，样本方差为，则有：
（1），
（2）与相互独立，且.
（3）
（4）

两个正态总体

设，和，分别来自总体的样本，且两个总体相互独立，则有
（1），
（2）如果则其中

（3）

（4）

6.4 重要公式与结论
（1）对于，有
（2）对于，有；
（3）对于，有
（4）对于任意总体，有

第七章参数估计

7.1 点估计的概念，估计量与估计值，矩估计法，最大似然估计法
（1）为的矩估计， g（x）为连续函数，则g（）为g（）的矩估计。
（2）为的极大似数估计，g（x）为单调函数，则为的极大似然估计
（3）即，分别为总体的无偏估计量。
（4）由大数定律易知，也分别是的一致估量。
（5）若则为的一致估计。

7.2 估计量的评选标准区间估计的概念
（1）估计量的选取标准：无偏性、有效性、相合性
（2）为的置信度是的置信区间，g（x）为单调增加（或单调减少）函数，则为的

置信度是的置信区间
（3）单个正态总体的均值和方差的区间估计，两个正态总体的均值差和方差比的区间估计

第八章假设检验^[1]

8.1 显著性检验，假设检验的两类错误

假设检验的一般步骤
(1)确定所要检验的基本假设；
(2)选择检验的统计量，并要求知道其在一定条件下的分布；
(3)对确定的显著性水平，查相应的概率分布，得临界值，从而确定否定域；
(4)由样本计算统计量，并判断其是否落入否定域，从而对假设作出拒绝还是接受的判断

假设检验的两类错误
统计推断是由样本推断总体，所作的结论不能保证绝对不犯错误，而只能以较大概率来保证其可靠性。
第一类错误是否定了真实的假设，即假设本来成立，但被错误地否认了，成为“弃真”，检验水平就是犯第一类错误的概率的最大允许值。
第二类错误是把本来不成立的假设错误地接受了，称为“存伪”。犯这类错误的大小一般用表示，它的大小要视具体情况